Geographical Profiling : Centroide e CMD

In letteratura vengono usati vari termini, e a volte si fa confusione.

Il Baricentro, detto anche Centroide, non è altro che la media aritmetica delle coordinate geografiche dei delitti.

Il punto dal quale è minima la distanza per raggiungere tutti i delitti è chiamato Centro di Minima Distanza (CMD). Centroide e CMD NON sono la stessa cosa !

Prendiamo un triangolo, mentre il Baricentro è l’incrocio delle mediane, il CMD è il Punto di Fermat (o di Torricelli-Fermat) !

Quest’ultimo si può ricavare in due modi.

1) Costruendo su ciascun lato del triangolo un triangolo equilatero esterno e congiungendo i vertici del triangolo coi vertici dei triangoli equilateri opposti.

2)  L’intersezione delle circonferenze circoscritte ai tre triangoli equilateri.

Nella figura sottostante si vedono i due modi per ricavare il punto di Fermat (P), e a sinistra, in rosso, C è il Centroide (Baricentro), cioè l’incrocio delle mediane. Come si vede chiaramente, i due punti (P e C) NON coincidono, a meno che il triangolo considerato ABC, sia equilatero.

Un’altra caratteristica interessante del punto di Fermat è che i tre angoli APB, APC e BPC sono uguali, cioè di 120°.

Considerando un triangolo, il punto di Fermat, cioè il CMD può essere ricavato con precisione, ma con poligoni superiori non c’è una formula, e bisogna procedere per iterazioni.

In questo link un simpatico modo per “esercitarsi” a trovare il CMD in un quadrilatero convesso. A occhio cliccate su quello che vi sembra il punto dal quale sia minima la distanza per raggiungere i vertici, e poi cliccate su “soluzione”.

Fino adesso stiamo considerando solo i vertici, ma ci possono essere    anche punti interni al poligono ! Il discorso si complica enormemente e non c’è altro da fare che ricorrere a programmi sofisticati per il computer.

Nella tabella sottostante viene illustrato il processo.

Una notazione storica. Stuart Kind, nel 1980 analizzò i delitti dello Squartatore dello Yorkshire.

Dopo uno studio, arrivò ad ipotizzare che la residenza dell’assassino si trovasse sul Centro di Gravità dei delitti. Questo cadeva vicino a Bradford. Analizzò anche gli orari dei delitti, per concludere che l’assassino viveva vicino a Bradford, possibilmente nell’area  di Manningham o Shipley.

Il rapporto fu concluso il 17 dicembre 1980 e distribuito alle autorità, ma il 2 gennaio 1981 Sutcliffe venne arrestato da due agenti, per un controllo, mentre era in auto con una prostituta.

Il lavoro di Kind non fu quindi decisivo, ma sapete dove abitava Sutcliffe ? Nel distretto di Heaton a Bradford. Heaton è a metà strada fra Manningham e Shipley… fantastico ! Sutcliffe era nativo di Bradford e parlava con accento di Bradford.

Come calcolò il Centro di Gravità, Kind ? Iniziò a plottare i 17 delitti attribuiti al SK.

 

Adesso seguiamo le parole di Kind (poi ve le traduco), perché qui inizia la storia del GP !

“Take a map of the area in which the seventeen Yorkshire Ripper offences occurred and mark the location of each by a pin. Next take an eighteenth pin and join it to each of the seventeen locations by a piece of thread. That location of the eighteenth pin which minimizes the amount of thread required is the centre of gravity of the seventeen offences. In fact the exercise was carried out on computer at the Home Office Central Research Establishment. The calculations were performed on the basis of the simplest possible pattern, that is distances as the crow flies. Six different exercises were carried out. These were based on six different sets of assumptions as to which of the seventeen cases were in fact Ripper cases. The centre of gravity proved to be in all cases near the City of Bradford”.

“Prendete la mappa dell’area nella quale sono occorsi I 17 delitti dello Squartatore dello Yorkshire, e marcate ciascuna con un segnalino. Quindi prendete un diciottesimo segnalino e unitelo a ciascuno degli altri 17 con un pezzo di filo. La posizione del diciottesimo segnalino che minimizza la quantità di filo necessaria è il centro di gravità dei 17 delitti. Nella realtà l’esercizio è stato fatto con un computer dell’ Istituto Centrale di Ricerca del Ministero degli Interni. I calcoli sono stati fatti sulla base del percorso più breve, cioè la distanza in linea d’aria. Sono stati eseguite sei differenti prove nell’ipotesi su quali dei 17 casi appartenessero allo Squartatore. Il centro di gravità è risultato in tutti i casi vicino alla Città di Bradford.”

Fermiamoci un attimo a riflettere. Kind non parla di media di coordinate, che sarebbe il Centroide (Baricentro) dei 17 delitti. Parla di percorso minimo (filo) per unire tutti i 17 punti, all’ipotetico diciottesimo punto, e lo chiama centro di gravità. Un ulteriore termine che può generare confusione ! Il centro di gravità di Kind, quel punto cioè che minimizza la quantità di filo necessaria per raggiungere tutti i punti, non è altro che il CMD ! 

Una conferma indiretta, ma molto importante, che Kind avesse in mente il CMD (che lui chiama centro di gravità) e non il centroide (o baricentro), è che mentre il Centroide è facilmente calcolabile, basta fare la media aritmetica delle coordinate, per arrivare al CMD deve necessariamente usare un computer ! Kind infatti usa un computer, e fa sei test differenti, probabilmente escludendo ogni volta il (o i) delitto più distante (anomalo o outlier), e constata che il risultato finale non varia molto, in quanto il CMD si situa ogni volta vicino a Bradford. Questo probabilmente perché i casi sono molti, 17, e un singolo outlier incide poco sul calcolo globale.

Se riguardate la figura precedente “probabilmente” nei sei tets ha escluso ogni volta i delitti più “esterni” (outliers). Ne toglieva uno e faceva il calcolo coi rimanenti 16. Poi lo “rimetteva” dentro, ne toglieva un altro, e rifaceva il calcolo sempre sui rimaneti 16 delitti, e così via. I sei delitti che ha tolto, di volta in volta, sono probabilmente (non lo so con certezza) quello a ovest di Preston, i due in basso a sinistra vicino a Manchester, poi quello di Keighley, quello di Huddersfield e uno dei due di Halifax.

Nel disegno sottostante vedete appunto i sei circoletti con la croce che indicano i sei risultati dei test.

Qual è il razionale del Centro di Gravità (CMD) ? Perché dovrebbe essere così importante ? Seguiamo ancora le parole del maestro…

“The justification for the test was simply that criminals, like non-criminals, are subject to the constraints of time and space in all their activities. The possibility that a criminal may act in such a way as deliberately to cover his tracks must be balanced against the natural human tendency to gain results with minimum effort. Neither should one forget the fourteenth-century dictum of William of Ockham (Occam's Razor), 'entities should not be multiplied without necessity' or, put another way, keep hypotheses as simple as the data permit.”

 

“La giustificazione del test era semplicemente che i criminali, come i non-criminali, sono soggetti ai limiti dello spazio e del tempo in ogni loro attività. La possibilità che un criminale possa agire al fine di nascondere deliberatamente le sue tracce, deve essere bilanciata contro la naturale tendenza a raggiungere il risultato col minimo sforzo. Nessuno dovrebbe dimenticare la massima del quattordicesimo secolo di William Ocham (il Rasosio di Occam), “ Le entità non dovrebbero essere moltiplicate senza necessità” o, detto in altro modo, mantieni le ipotesi le più semplici possibili che i dati permettano. “

Qui c’è già quasi tutto il GP ! Da una parte il criminale può colpire lontano da casa per sviare le indagini, ma dall’altra è sempre soggetto al principio di minimo sforzo, per cui, a parità di condizioni, sceglierà di colpire vicino a casa. Pomposamente… è soggetto alla funzione di decadimento progressivo con la distanza, per cui c’è una relazione inversamente proporzionale tra il numero di crimini commessi, e la distanza percorsa per commetterli. Da una parte c’è il desiderio di sviare le indagini, colpendo lontano da casa, ma dall’altra è molto più comodo colpire vicino a casa, e soprattutto più sicuro. Il tempo globale impiegato per commettere l’omicidio e tornare a casa, è una variabile di capitale importanza, che qualsiasi SK ha ben presente.

Sul Rasoio di Occam credo siamo tutti d’accordo, tranne per chi pensa, nel caso del MdF, alla strategia della tensione, o alle sette sataniche, ma questo l’ho già evidenziato in un precedente post, e non voglio mescolare la cristallina logica di Kind, con i deliri paranoici dei complottisti vari.

Non contento di aver inconsapevolmente posto le basi del GP, quel genio di Kind fa un’altra osservazione acutissima, riguardo all’orario in cui vengono commessi i delitti. Per le considerazioni precedenti sul “minimo sforzo” e il tempo necessario per andare e tornare a casa, dopo aver commesso un delitto, Kind scrive :

“If the killer seeks his victims wherever he can find them and then returns to his base as quickly as possible, he will have the tendency to attack later in the day the closer he is to base. The reason for this tendency is to minimize the risk of being held up on the way home should the crime be swiftly discovered.”

“Se il killer cerca le sue vittime dovunque possa trovarle e ritorna alla sua base il più rapidamente possibile, avrà la tendenza ad attaccare tanto più tardi nella giornata, quanto più è vicino a casa. La ragione per questa tendenza è minimizzare il rischio di essere fermato sulla via del ritorno a casa, nel caso il crimine venga scoperto rapidamente “

Altrove, non in questo articolo, ribadisce :

“ Il SK ha bisogno dell’oscurità, e cerca di sviare le indagini sul luogo della sua residenza. I crimini commessi la sera presto sono più lontani da casa, mentre quelli commessi ad ora tarda sono più vicini a casa.”

Ecco le due forze opposte in gioco. Se decide di colpire lontano, magari per sviare le indagini, deve “mettersi in marcia” presto, e tenderà a colpire non a notte inoltrata. Se decide di colpire vicino a casa, in quanto farà meno fatica (logistica), può “permettersi” di colpire tardi, col buio.

Mnemonicamente PRESTO = LONTANO e TARDI = VICINO.

Ci ritornerò, nell’analisi del Mdf, per quanto riguarda i due omicidi (1974 e 1984) nel Mugello. Con buona pace di chi pensa ad una residenza del MdF nel Mugello, questi due omicidi sono stati commessi relativamente presto, rispetto agli altri casi, e quindi proprio il Mugello dovrebbe essere la zona più lontana dalla residenza del MdF !

Ritornando allo studio di Kind, egli analizza i 17 omicidi in relazione all’ora in cui sono stati commessi, o meglio all’ora in cui le vittime sono state viste vive per l’ultima volta.

Per farla breve, il post è già lunghissimo, nota che i casi più tardivi si concentrano vicino a Leeds e Bradford, confermando l’analisi spaziale precedente.

Riassumendo il geniale lavoro, Kind si riferiva al CMD e non al Centroide, e c’è una relazione inversamente proporzionale fra l’ora del delitto e la distanza dalla residenza.